续前一篇专栏，解决下面的问题：

若一架飞机以速度(向右)前行，其连续不间断地向地面投掷物资，问t时刻所有物资在空中的排布曲线？

比起前一题，这题更难的地方在于水平方向仍然有位移(由于相继平抛的物资水平方向也会偏离原位)，因此这题用直角坐标方程就不好表示了，得换用参数方程。

这里怕读者不懂就先举几个具体的数字

(资料图片)

比如取进行研究

那么次数飞机已经飞到距离原点的地方了

那么飞机经过原点时投放的物资已经进行了的平抛运动

那这个物资此刻究竟在哪里呢？其实就是问：投放点为原点，以的初速度平抛了，问此刻物资在哪？

那么

那如果要求飞机在距离原点的地方投放的物资此刻的位置呢？

我们就关键就需要知道此物资做平抛运动的时间

其等于飞行的时间减去飞机由原点飞到此处所需的时间,即平抛了

于是

以此类推，我们就可以求出飞机所经任意位置投放的物资在此刻的位置

取时刻研究

以原点为初始位置建轴，到达位移为处所需时间为，说明飞机经时间后才运动到此处，也就意味着该点比原点处的物资滞后后才做平抛运动。则此时该点处的物资已经做了时间的平抛运动

因此此刻(由位移为处开始投掷)的物体位置横/纵坐标分别为：

，其中参数

算出来x坐标为定值，因此参数方程描述的是一条竖直的直线

这里参数是s，表示的是每个(原来与出发点距离s的)位置，经时间后的位置。每个s对应一个点

ps:desmos解析式如下：

ps:注意第5式中的t是文中的参数s，由于desmos的参数只能用t表示所以没法子了，读者自行换为s即可

再拓展下，

若飞机以加速度由静止向右做匀加速直线运动，同时连续不断地向地面投放物资，问t时刻所有物资在空中的排布曲线？

道理也是相同的，不过要注意的是算时间时要套匀变速位移的公式了

取时刻研究

以原点为初始位置建轴，到达位移为处所需时间为，说明飞机经时间后才运动到此处，也就意味着该点比原点处的物资滞后后才做平抛运动。则此时该点处的物资已经做了时间的平抛运动

因此此刻(由位移为处开始投掷)的物体位置横/纵坐标分别为：

，其中参数

算出来参数方程是一条倾斜的直线(斜向左下方)

当然，此题也可以用换系来做

以向右匀加速的飞机为参考系，则换系后，投放的物资有竖直向下的重力加速度和水平向左的惯性加速度,矢量叠加可知此参考系下物资的合加速度方向均为斜向左下方。

而每个物资被投放瞬间与飞机是共速的，因此在此参考系下物资的初速度为0。因此投放的物资相继沿合加速度(红色箭头)方向做匀加速直线运动，则排列曲线为一条倾斜的直线。

再把参考系换回为地面，则整条倾斜的直线随着飞机一同向右(匀加速)平移。

同理，如果是匀减速，那么排布曲线就是往右下方倾斜的直线，就留给感兴趣的读者推吧[滑稽]

ps:@鲁建全做过一个视频，供参考：

飞机投弹演示（加速运动时）

最后回到最初的这道难题：

已知喷头以角速度ω逆时针转动，同时连续不断向前喷水(初速度大小为v₀，方向与水平面夹角为θ)问t时刻水柱在空中排列曲线的方程?

以喷头为原点建立空间直角坐标系

取时刻研究。转过的总角度为

取其中的角为例，转过角所需时间为，即此处的水滴比原点的水滴晚时间后才做斜抛运动。则该处水滴做斜抛运动的时间为

先将初速度分解到沿水平面方向和垂直水平面方向

再将水平方向分量分解到x,y方向：

x,y方向做匀速直线运动，z方向做竖直上抛运动，于是有：

其中参数

ggb画的曲线轨迹图像如下：

解析式如下：

于是我们终于解决了这道烧脑的思考题。

嗨，真的快疯了，说不定已经疯了，看个喷泉都联想出了一堆花里胡哨...如果学到一定程度说不定流体力学都淦上去了(

另外，考虑到受众的问题，以后这种纯探索（"胡想"）类的专栏可能会少些了，我也会下意识做好应试和研究的分类，让不同的受众皆得其益